Archive for October, 2010

Granica funkcji,ciągłość,twierdzenia.

_______Moje (autorskie) spojrzenie                                                                    ____na granicę funkcji.

1. Definicja granicy funkcji w punkcie

2. Utrwalenie definicji granicy funkcji _________

3. Funkcja ciągła w punkcie ; ciągłość podstawowych  funkcji

4. Granica funkcji a działania na funkcjach

5.  Ćwiczenia w obliczaniu granic funkcji

6.  Granica funkcji a jej wykres ; asymptoty

7. Granice szczególnych funkcji

8. Granica funkcji w/g Cauchye’go

9.  Utrwalenia wiadomości o granicy i ciągłości funkcji

Moja droga do matematyki

    Proponowana droga do matematyki, jest konsekwencją moich życiowych doświadczeń w edukacji  matematycznej

    Pierwszym i ważnym etapem była nauka matematyki  w I Liceum Ogólnokształcącym w Tarnowie (11lat).W liceum,moim wychowawcą i nauczycielem matematyki był prof. Zenon Zięba.Rekomendacją Jego umiejętności nauczania matematyki jest fakt, że 18-tu Jego uczniów uczestniczyło w finałach Olimpiady Matematycznej ( w tym dwóch Jego synów ) , kilku było wyróżnionych, dwoje było lauretami : prof.Bohdan Grell O.M.-1954(wyróżniony rok wcześniej), prof. Edward Tutaj O.M.-1959 ( wyróżniony rok później), dziś są profesorami Uniwersytetu Jagiellońskiego . Ja miałem okazję uczyć się w klasie, w której było trzech finalistów O.M.- 1957r. w tym jeden wyróżniony  ( Andrzej Ryżka ).

    Drugim etapem były studia na Wyższej Szkole Pedagogicznej w Krakowie, kiedy dziekanem Mat-Fiz. była profesor Zofia Krygowska, uznany międzynarodowy autorytet dydaktyki matematyki  Jej asystentem był (wtedy jeszcze mgr ale prawie dr , obecnie prof.dr hab.)  Stanisław Serafin ( były absolwent I LO i uczeń prof. Z. Zięby ) i plejada wybitnych dydaktyków matematyków, a wśród nich, prof. Zenon Moszner i obecnie profesorowie, dr hab. Bogdan Nowecki,  Stefan Turnau.

       Na studiach miałem szczęście, bo studiowałem z tymi, którzy obecnie są profesorami, dr habilitowanymi : Józef Tabor (kier.Instytutu Analizy Wypukłej U,Rz.), Helena Siwek, (kier. Wydziału Dydaktyki Matematyki U.P. w Krakowie), Gustaw Treliński (dyr Instytutu U.H-P w Kielcach), Władysław Kubaszewski ( adiunkt na AGH ),z wcześniejszego rocznika, dr hab.inż,prof. Eugeniusz Wachnicki, prof.dr hab. Stanisław Wołodźko, z późniejszego rocznika, prof.zw.dr hab. Adam Płocki (wybitny dydaktyk i popularyzator i autor wielu podręczników z rachunku prawdopodobieństwa,dla uczniów szkoły podstawowej, średniej, studentów oraz nauczycieli ). Wypisywałem tytuły naukowe, by pochwalić się z jakimi zdolnymi kolegami miałem okazję studiować i od razu zaznaczę, że zwłaszcza od pewnego etapu nie dorównywałem Im w solidnym zdobywaniu wiedzy matematycznej ( na czwarym  roku z nimi już nie studiowałem ). Chwalę się również tym, że miałem wykłady i zajęcia z wybitną kadrą wykładowców – dydaktyków, od których dużo przejąłem ( choć Oni takiego przeciętnego studenta jakiego jak ja, na pewno, nie zapamiętali ).

  Lata  moich studiów i następne, były latami rozkwitu dydaktyki matematyki polskiej i najlepszymi latami w propagowaniu i nauczaniu ” nowej  matematyki  w polskich szkołach. Wtedy za sprawą prof. Z.Krygowskiej  wprowadzono do szkół tzw. nową matematykę.

   W telewizji było pełno matematyki. Rzesze nauczycieli matematyki śledziło wykłady telewizyjne (audycje), z matematyki , uczyło się nowej matematyki na kursach telewizyjnych.

Wtedy to w początkowych klasach szkoły podstawowej uczniowie “bawili się” matematyką o której ich rodzice nie mieli “zielonego” pojęcia. We wszystkich klasach w których uczyły się dzieci wisiało hasło ” Matematyka bawi, uczy i wychowuje “.

Z perspektywy czasu, trzeba podkreślić szczególne zaangażowanie nuczycielek  nauczania początkowego, które na licznych kursach dokształcały się w tej nowej matematyce, a potem w domu kosztem prywatnego czasu, przygotowywały pomoce do nauki tej matematyki by uczniowie podczas lekcji bawiąc się, zdobywały wiedzę matematyczną.

    Trzecim  znaczącym  etapem, była praca na stanowisku wizytatora metodyka matematyki. O  moich doświadczeniach z tego okresu, napiszę przy innej okazji.

  Moja nauczycielska droga, w zasadzie dotyczy dwu szkół. Szkoły Podstawowej nr.9  ( 1966-1975 ) i  I Liceum Ogólnokształcącego ( 1975-1998 ) w Tarnowie,choć pierwsze kroki w zawodzie nauczyciela stawiałem w r.szk.11965/66 w IV Liceum (niestety, było to roczne zastępstwo). Ucząc w szkole podstawowej, miałem również zajęcia w Zasadniczej Szkole Energetycznej. Ten okres wspominam bardzo dobrze ze względu na szczególną atmosferę panującą w tej szkole, którą stworzyła czołowa kadra inżynieryjna Zakładów Energetycznych w Tarnowie.

Moim ważnym doświadczeniem była dwuletnia asystentura u dr B. Paszek na Wyższej  Szkole Ekonomicznej w Krakowie ( filia studiów wieczorowych w Tarnowie ). Niestety, WSE zakończyła działalność w Tarnowie, gdy powstała Małopolska Wyższa Szkoła Ekonomiczna, w której usłyszałem, że “wystraszyłbym studentów“ ( widać zadbano o “odpowiedni poziom”). Muszę jeszcze pochwalić się, że wśród kilku różnych kursów dokształcających, ukończyłem półtoraroczne Studium Podyplomowe z Informatyki i jako jedyny nauczyciel matematyki w I. LO miałem II-gi stopień specjalizacji zawodowej z dydaktyki matematyki ( ale i tak dyrektorskie miernoty “wykopały” mnie na wcześniejszą emeryturę).

“historia kołem się toczy”

   Słyszymy częstohistoria kołem się toczy. Słuszność porzekadła, potwiedza praktyka, z którą spotkałem się w I.LO. 

   Dwa lata temu, spotkałem się z dyr. M.Lipińskim i w Jego gabinecie przedstawiłem, ” ofertę nie do odrzucenia “, prowadzenia za darmo dodatkowych zajęć z matematyki, dla uczniów, którzy chcą studiować na kierunkach politechnicznych. Niestety, przy rozmowie nie ustrzegłem się  komentarza o nauczaniu matematyki przez mgr.K.H. ( wtedy z-ce dyr, który wraz z dyr M.Kobielskim dali mi naganę za to, że nie wykonałem ich polecenia, by postawić uczniowi kl.II hum. ocenę niedostateczną ), wypowiadając zdanie ” gdybym jako wizytator metodyk-matematyki hospitował Jego lekcję, okazało by się, że musiałby się zacząć uczyć, jak uczyć matematyki“.

   Wtedy też, dyr M.Lipiński ( który wówczas, też był  z-cą dyr ) ocenił moje metody nauczania,powtarzając (jedyny zarzut odmieniany przez wszystkich dyrektorów (na ogół, jak byłem wzywany do gabinetu, obecni byli wszyscy trzej dyrektorzy ?( czy teraz nie nazywa się to ”mobbingiem“?) i przez wszystkie przypadki) “uczniowie boją się Pana”, (a moje pytanie, dlaczego, odpowiedzi zawsze było brak)  i oznajmiając mi, że uczyłem osobę z Jego rodziny ( w tamtym czasie wogóle mnie to nie interesowało),która przed zajęciami ze mną miała problemy żołądkowe. Przyznam się, że przeszedłem nad tym do porządku dziennego, nie dociekając przyczyn takiego stanu byłej uczennicy. 

  Muszę wspomnieć o bardzo dobrej znajomości atmosfery w I.LO przez (wtedy) maturzystę, który po mojej relacji o tym spotkaniu, stwiedził ” I Pan się spodziewa, że zechcą Pana widzieć w I.LO“  Niestety, ten młody człowiek  miał rację. Mojej oferty, nie przyjęto !

   Rok temu zmieniła się dyrekcja I.LO. Dyrektorką została mgr M.Wrześniowska. Dzięki Niej wnętrze gmachu szacownej szkoły zostało wyeksponowane tak,że wchodząc do budynku,czuje się i widzi półtorawiekową jego historię. Wspomnę przy tej okazji wypowiedź prof.W.Czaplińskiego z  Uniwersytetu Wrocławskiego, który przy okazji wizyty w Tarnowie chciał odwiedzić szkołę i jak powiedział” gdy wchodząc do szkoły zobaczył “stacyjny”  kolor ścian, uciekł ze szkoły”. Obecnym uczniom tej szkoły podpowiem, że przez ponad pół wieku ( od kiedy zostałem uczniem tej szkoły ), pomarańczowy kolor ścian był taki jaki było widać w tarnowskiej stacji. Teraz  po generalnym remoncie, jakiego nie było przez pół wieku, który był możliwy dzięki  staraniom Pani Dyrektor,  wnętrze  budynku I.LO wydostojniało, wypiękniało. Wszystko wskazuje na to, że niedługo, również odrestaurowana tarnowska stacja kolejowa pokaże się w nowej, pięknej krasie.   

        Z wielkim uznaniem dla Pani Dyrektor  (słyszałem wiele dobrych opinii o Jej zawodowych sukcesach) i nadzieją, że zdoła dokonać potrzebne zmiany w I. LO, kibicowałem Pani Dyrektor, życząc Jej dużo odporności i moc energii,by przełamać sprzeciw wobec Niej, dużej części Grona Pedagogicznego (pismo do Prezydenta), głośnej grupy uczniów (pytanie o ich wiedzę na temat dokonań zawodowych Pani Dyrektor i inspiracji ich działań).  Przyznam się, że gdy spytałem Ją, o oponentów w szkole, z pewnym  sceptycyzmem (bo znałem stosunki w I.LO) przyjąłem optymistyczną  odpowiedź, “ moja praca na rzecz szkoły będzie mi przysparzać zwolenników” (jak później okazało się, złudny był to optymizm).

    Rok póżniej, 13 września (nie wierzę w przesądy) złożyłem pisemną prośbę o użyczenie sali lekcyjnej, bym mógł za darmo prowadzić zajęcia dla ucziów I LO, którzy byliby zainteresowani matematyką, z którą nie spotkali się na lekcjach matematyki.O ile rok wcześniej rozmawiałem z Panią Dyrektor pełną energii, z optymistyczną wizją o kierowaniu szkołą, o tyle teraz miałem wrażenie,że widze osobę (jest to moje subiektywne wrażenie),na której perfidne ataki Jej przeciwników, “zrobiły swoje”.Z pewnym zaskoczeniem słuchałem uwag Pani Dyrektor, która mówiła o ewentualnych opiniach nauczycieli i nadzoru pedagogicznego. Natychmiast zapytałem o to, najważniejszą osobę w tarnowskiej oświacie,która oświadczyła, że nie ma nić “przeciwko”. Po czasie potrzebnym na przejście od U.W do I.LO (ok.200m),przekazałem tą informację Pani Dyrektor. Efekt jest taki, że miesiąc poźniej,dziś 13 października, brak reakcji na moje pismo.

   Jutro 14, w Dzień Nauczyciela może czegoś się dowiem.
  Byłem, ciastko zjadłem, herbatę wypiłem, o piśmie nie rozmawiełem. O wrażeniach napiszę,

Szeregi liczbowe, szeregi funkcyjne

1. Granice sum częściowych, szeregi

2. Kryteria zbieżności szeregów

3. Badanie zbieżności szeregów

4. Wzór Newtona , trójkąt  Pascala

5. Szereg Taylora, wzór Maclaurina

Geometria euklidesowa (syntetyczna)

_____________Wstęp  do  geometrii.

1. Wprowadzenie  do geometria euklidesowej ; pojęcia  pierwotne, aksjomaty,

2. Geometria – nauka  dedukcyjna ;  aksjomat  Euklidesa

3. Co to jest odległość ; definicja metryki geometrycznej

4. Przykłady różnych  metryk  ( różne  odległości )

5. Okrąg , koło,  w różnych   metrykach

6. Okrąg , koło ; definicje, położenia okręgów i prostych

7. Brzeg, wnętrze figury ; definicje , przykłady

8. Definicje   kąta , wielokąta

9. Jeszcze   o   aksjomatach ; geometrie   nieeuklidesowe


______Przekształcenia  geometryczne

1. Przegląd  szkolnych  przekształceń geometrycznych; definicje, przykłady;

2. Przekształcenia  a  odległość,  grupy przekształceń

3. Symetria  osiowa ; definicja , generator  izometrii

4. Symetria  osiowa, oś symetrii  figury

5. Przystawanie   figur ; cechy  przystawania

6. Symetria   środkowe ; składanie,, równoległoboki

7. Poszukiwanie  przekształceń  izometrycznych

8. Wektory,  relacje,  działania, własności  działań

9. Mnożenie  wektora   przez liczbę ; przestrzeń  wektorowa

10. Iloczyn  skalarny  wektorów ; definicja, własności  mnożenia,  twierdzenie  cosinusów, ,

11. Iloczyn  wektorowy  wektorów ; definicja,  własności

12.Podobieństwa ; jednokładność , własności, zbiór   podobieństw   ze  składaniem

13. Przekształcenia   afiniczne ;  powinowactwo  osiowe

14. Zbiór   izometrii  ze  składaniem ; grupy,  podgrupy

15. Przegląd  szkolnych  przekształceń

16. Podstawowe  miejsca  geometryczne  punktów

17. Krzywe  stożkowe


______Dziwne  wnioski  w  ,, naszej “  geometrii

Figury  niemierzalne ; kwadrat-sito,  kwadrat z brodą

Niezwykłe   własności  figury  kwadratu – sito

Funkcja, podstawowe własności.

To warto i należy sobie przypomnieć i zapamiętać.

_____ __Funkcje i ich własności.

_________I.  Podstawowe własności funkcji

1. Przyporządkowania ; wprowadzenie  do   definicji   funkcji

2. Badania przyporządkowań, które są funkcjami

3. Sposoby przedstawiania funkcji

4. Monotoniczność funkcji ; definicja, wykres, przykłady

5. Funkcje parzyste, nieparzyste ; definicje, wykresy, przykłady

6. Funkcja ograniczona ; definicja, wykres, przykłady

7. Funkcja różnowartościowa ; definicja, wykres, przykłady

8. Funkcja okresowa : definicja, wykresy, przykłady

9. Przykłady prostych  funkcji ; ich wykresy, własności

10. Badanie własności podstawowych funkcji

11. Zebranie wiadomości o własnościach funkcji

12. Odczytywanie własności funkcji z wykresu

13. Podstawowe przekształcanie wykresu funkcji

____________II.  Operacje  na funkcjach.

1. Działania na funkcjach

2. Odwracanie funkcji ; warunki, wykres, przykłady______

3. Składanie funkcji ; warunki, przykłady

_______________III.  Rodzaje  funkcji

1. Przykłady specjalnych funkcji

2. Badanie  własności  funkcji  liniowej ______

3. Badanie własności funkcji kwadratowej

4. Wielomian ; definicja, pierwiastki. działania na wielomianach__

5.  Dzielenie wielomianów ; sposoby dzielenia

6. Tabelka Hornera ; skąd taka konstrukcja ?______

7. Rozkład wielomianu na czynniki pierwsze

8. Funkcja wymierna ; definicja, działania, struktura__

9. Funkcja homograficzna ; definicja, wykres, własności

10. Funkcja potęgowa ; definicja, wykres, własności _____

11. Funkcja wykładnicza, logarytmiczna ; definicje, wykresy, włsności

Zbieżność ciągu

__________Nietypowe  ( autorskie )                                        wprowadzenie granicy ciągu.

1. Wprowadzenie pojęcia granicy ciągu_________

2. Definicja granicy ciągu

3. Badanie granic ciągów

4. Niewłaściwa granica ciągu ; definicja, badania takich granic

5. Działania na ciągach a ich granice

6. Zbieżność ciągów arytmetycznych, geomeytrycznych

7. Tajemnicza liczba e , to granica szczególnego ciągu

8. Ćwiczenia w obliczaniu granic ciągów

9.  Granice szczególnych ciągów

10.  Dalsze twierdzenia o granicach ciągów

11. Zebranie wiadomości o granicach ciągów

Całka, sposoby obliczania całek.

_________Tego nie ma   w żadnym  podręczniku akademickim.

1. Wprowadzenie do całkowania

2. Podstawowe sposoby całkowania, twierdzenia..

3. Ćwiczenia w całkowaniu przez części  i  przez  podstawienie

4. Całkowanie   funkcji   wymiernych

5. Całkowanie funkcji  niewymiernych

6. Całkowanie funkcji  trygonometrycznych

7.  Całka  oznaczona w/g   Riemanna

8. Długość krzywej, pole powierzchni, objętość bryły obrotowej.

Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodob.

Mierzenie  szansy  sukcesu – prawdopodobieństwo

1. Wprowadzenia do rachunku prawdopodobieństwa

2. Elementy kombinatoryki

3. Prawdopodobieństwo geometryczne ; definicja, interpretacja geometryczna

4. Jak wyznaczać prawdopodobieństwo

5.  Prawdopodobieństwo warunkowe.

6. Zdarzenia niezależne ; interpretacja, definicja

7.  Schemat Bernoulliego

8.  Czy ćpałeś ? Ile ryb pływa w jeziorze ?

Uwagi o nauczaniu matematyki

Od kilku lat z dezaprobatą patrzę na to, co się dzieje z matematyką w  liceum. 

 Gdy student drugiego roku, nie potrafi obliczyć pochodną prostej funkcji złożonej, z większym niż kiedyś uznaniem myślę o moich uczniach klas matematycznych, którzy obliczali podstawowe całki i rozwiązywali proste równania różniczkowe.  Obecni absolwenci szkoły średniej, na ogół, nie mają pojęcia o granicy ciągu   ( nauczyciele nie omawiają ją, bo nie ma granic na maturze), a o granicy funkcji, pochodnej funkcji, badaniu przebiegu zmienności prostej funkcji, nie ma co marzyć.

Wielu znajomych stwierdza, że ta sytuacja ulegnie poprawie, bo matura  z matematyki jest obowiązkowa. 
Niestety, są  to tylko złudzenia Najważniejsze są dwa powody ( jest ich więcej ). 

Pierwszy, program z matematyki, to obecnie kikut” matematyczny.   Od pewnego czasu ( za min. Giertycha i premiera Marcinkiewicza (niby były nauczyciel)), skreślano wiele pojęć  matematycznych ( od wymienionych, po trygonometrię, niezbędnych na studiach politechnicznych), by ułatwić  zdawanie matematyki na maturze. Obecnie maturę na poziomie podstawowym zdałby absolwent dawnej szkoły podstawowej (ośmioletniej). Maturzysta nie jest przygotowany do studiowania na kierunku  politechnicznym.

Drugi, nauczyciele na ogół nie uczą matematyki. Wystarczy zajrzeć do zeszytu, by zorientować się, że wiedza matematyczna jest na ogół przekazywana. Nauczyciel podaje wiadomości, nawet nie próbując wyjaśnić, skąd?  dlaczego ? po co? Przepraszam tych nauczycieli, którzy zgodnie z najlepszymi zasadami dydaktyki nauczają swoich uczniów matematyki na dobrym poziomie (niestety nie mam szczęścia spotkać ich uczniów). Ale wystarczy zorientować się, jaki poziom matematyki prezentują świeżo upieczeni studenci wielu uczelni, by podzielić moje stanowisko.

 Potwierdzenie mojej oceny poziomu nauczania matematyki można znaleźć w artykule Gimnazjaliści zdali maturę w Gazecie Wyborczej z dnia 5.11.2010. O absurdalności tej sytuacji, świadczy wypowiedź b.wiceministra MEN (teraz jest wiceministrem nauki), prof.Z.Marciniaka ,który zdumiony, mówił,” to niemożliwe !